№ 4. Площадь сечения шара некоторой плоскостью равна \(16\pi\) см², а расстояние от центра шара до этой плоскости равно 3 см. Вычислите площадь сферы, которая служит границей этого шара и объем шара.

Решение:

1. Площадь сечения (круга) равна \( S_{сеч} = \pi r_{сеч}^2 \), где \( r_{сеч} \) — радиус окружности сечения. Найдём \( r_{сеч} \): \[ 16\pi = \pi r_{сеч}^2 \] \( r_{сеч}^2 = 16 \) \( r_{сеч} = 4 \text{ см} \)
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы \( R \), расстоянием от центра до плоскости \( d = 3 \text{ см} \) и радиусом окружности сечения \( r_{сеч} = 4 \text{ см} \). По теореме Пифагора: \( R^2 = d^2 + r_{сеч}^2 \) \[ R^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] \( R = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \)
3. Вычислим площадь сферы: \( S = 4\pi R^2 = 4\pi (5 \text{ см})^2 = 4\pi \cdot 25 \text{ см}^2 = 100\pi \text{ см}^2 \)
4. Вычислим объём шара: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (5 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \text{ см}^3 = \frac{500\pi}{3} \text{ см}^3 \)

Ответ: Площадь сферы равна \(100\pi\) см², объём шара равен \(\frac{500\pi}{3}\) см³.