4. Отрезки АС и BD при пересечении точкой О делятся пополам. Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику DOC.

Решение:

Дано: Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. AO = OC, BO = OD.

Доказать: ΔAOB = ΔDOC.

Доказательство:

1. Равные стороны: По условию AO = OC и BO = OD.
2. Вертикальные углы: Углы ∠AOB и ∠DOC являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых (AC и BD). Следовательно, ∠AOB = ∠DOC.
3. Признак равенства треугольников: По двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников) треугольники ΔAOB и ΔDOC равны, так как:
• AO = OC (по условию)
• BO = OD (по условию)
• ∠AOB = ∠DOC (как вертикальные углы)

Вывод: По второму признаку равенства треугольников, треугольник AOB равен треугольнику DOC.