№4. Отметьте на координатной плоскости точки А(-4;3), В(0;4), С(2;-1), D(-2;-2). Начертите отрезки АС и BD. Найдите координаты точки их пересечения.

Решение:

Отметим точки на координатной плоскости:

• A(-4;3)
• B(0;4)
• C(2;-1)
• D(-2;-2)

Начертим отрезки AC и BD.

Чтобы найти точку пересечения, найдём уравнения прямых, проходящих через эти точки.

Уравнение прямой AC:

Через точки \( x_1 = -4, y_1 = 3 \) и \( x_2 = 2, y_2 = -1 \).

Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 3}{2 - (-4)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

\( y - 3 = -\frac{2}{3}(x - (-4)) \)

\( y - 3 = -\frac{2}{3}(x + 4) \)

\( y = -\frac{2}{3}x - \frac{8}{3} + 3 \)

\( y = -\frac{2}{3}x - \frac{8}{3} + \frac{9}{3} \)

\( y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \)

Уравнение прямой BD:

Через точки \( x_1 = 0, y_1 = 4 \) и \( x_2 = -2, y_2 = -2 \).

Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{-2 - 0} = \frac{-6}{-2} = 3 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

\( y - 4 = 3(x - 0) \)

\( y - 4 = 3x \)

\( y = 3x + 4 \)

Найдем точку пересечения:

Приравняем уравнения прямых:

\( -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = 3x + 4 \)

Умножим всё на 3:

\( -2x + 1 = 9x + 12 \)

\( -2x - 9x = 12 - 1 \)

\( -11x = 11 \)

\( x = -1 \)

Теперь найдём \( y \) подставив \( x = -1 \) в уравнение прямой BD:

\( y = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1 \)

Точка пересечения имеет координаты (-1; 1).

Ответ: (-1; 1).