4. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 см и AD = 12 см. Боковое ребро МА перпендикулярно к плоскости основания пирамиды и равно 4 см. Найти угол наклона ребра МС к плоскости ABCD. *б) Постройте сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания и проходящей через точку F на ребре МА, MF: FA = 1 : 3. Найдите площадь сечения.

Решение:

а) Угол наклона ребра МС к плоскости ABCD:

Угол наклона ребра МС к плоскости основания ABCD — это угол между ребром МС и его проекцией на плоскость основания. Проекцией ребра МС на плоскость ABCD является диагональ AC прямоугольника.

Сначала найдем длину диагонали AC по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:

• \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]
• \[ AC^2 = 5^2 + 12^2 \]
• \[ AC^2 = 25 + 144 \]
• \[ AC^2 = 169 \]
• \[ AC = \sqrt{169} = 13 \] см

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MAC (так как MA перпендикулярно плоскости основания, то MA перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая AC). Угол наклона ребра МС к плоскости ABCD — это угол ∠MCA.

• \[ \tan(\angle MCA) = \frac{MA}{AC} \]
• \[ \tan(\angle MCA) = \frac{4}{13} \]
• \[ \angle MCA = \arctan(\frac{4}{13}) \]

б) Построение сечения и нахождение его площади:

Плоскость, параллельная основанию ABCD и проходящая через точку F на ребре MA, будет пересекать боковые ребра пирамиды в точках, пропорционально удаленных от вершины M. Точка F делит ребро MA в соотношении MF:FA = 1:3. Это означает, что MF составляет 1/4 от длины MA.

Пусть h - высота пирамиды (длина MA), равная 4 см. Высота меньшей пирамиды M F1F2F3F4 (где F1, F2, F3, F4 - точки пересечения секущей плоскости с боковыми ребрами) будет MF = (1/4)MA = (1/4)*4 = 1 см.

Сечение F1F2F3F4 будет подобно основанию ABCD. Коэффициент подобия k равен отношению высот меньшей пирамиды к большей, то есть k = MF / MA = 1/4.

Стороны сечения будут:

• \[ AB_{сеч} = k \times AB = \frac{1}{4} \times 5 = \frac{5}{4} \] см
• \[ AD_{сеч} = k \times AD = \frac{1}{4} \times 12 = 3 \] см

Площадь сечения (S_сеч) будет равна площади прямоугольника со сторонами 5/4 см и 3 см.

• \[ S_{сеч} = AB_{сеч} \times AD_{сеч} \]
• \[ S_{сеч} = \frac{5}{4} \times 3 \]
• \[ S_{сеч} = \frac{15}{4} = 3.75 \] см²

Ответ: а) Угол наклона ребра МС к плоскости ABCD равен arctan(4/13). б) Площадь сечения равна 3.75 см².