3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 13 см. Высота призмы 8 см. Найдите площадь полной поверхности.

Задание 3. Площадь полной поверхности призмы

Дано:

• Основание призмы: прямоугольный треугольник.
• Катет прямоугольного треугольника \( a = 5 \) см.
• Гипотенуза прямоугольного треугольника \( c = 13 \) см.
• Высота призмы \( H = 8 \) см.

Найти: Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} \).

Решение:

1. Найдём второй катет основания.
   Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
   \[ 5^2 + b^2 = 13^2 \]
   \[ 25 + b^2 = 169 \]
   \[ b^2 = 169 - 25 \]
   \[ b^2 = 144 \]
   \[ b = \(\sqrt{144}\) = 12 \) см.
2. Найдём площадь одного основания.
   Площадь прямоугольного треугольника \( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \).
   \[ S_{осн} = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 5 \(\cdot\) 12 = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 60 = 30 \) см².
3. Найдём периметр основания.
   Периметр основания \( P_{осн} = a + b + c \).
   \[ P_{осн} = 5 + 12 + 13 = 30 \) см.
4. Найдём площадь боковой поверхности.
   Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H \).
   \[ S_{бок} = 30 \(\cdot\) 8 = 240 \) см².
5. Найдём площадь полной поверхности.
   Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} \).
   \[ S_{полн} = 2 \(\cdot\) 30 + 240 = 60 + 240 = 300 \) см².

Ответ: 300 см².