4. Найти ранг матрицы А:

Решение:

Для нахождения ранга матрицы $$A$$ приведем её к ступенчатому виду методом Гаусса.

Дана матрица $$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 & 8 \\ 0 & 7 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 7 & 4 \end{pmatrix}$$.

Поменяем местами первую и четвертую строки, чтобы в первом столбце был ненулевой элемент в первой позиции:

$$A \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 7 & 4 \\ 0 & 7 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 3 & 5 & 7 & 8 \end{pmatrix}$$.

Вычтем из четвертой строки первую, умноженную на 3:

$$R_4 = R_4 - 3R_1$$:

$$A \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 7 & 4 \\ 0 & 7 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot (-1) & 7 - 3 \cdot 7 & 8 - 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 7 & 4 \\ 0 & 7 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 8 & -14 & -4 \end{pmatrix}$$.

Теперь обнулим элементы под первой ненулевой строкой второго столбца. Для этого выгодно использовать вторую строку. Можно сделать элементы третьей и четвертой строки равными 0, вычитая из них соответствующие части второй строки. Для удобства, умножим третью строку на 7, а вторую строку на 5, и потом вычтем. Аналогично для четвертой строки:

$$7R_3 = 7 \cdot (0, 5, 3, 2) = (0, 35, 21, 14)$$

$$5R_2 = 5 \cdot (0, 7, 0, 1) = (0, 35, 0, 5)$$

$$R_3' = 7R_3 - 5R_2 = (0, 35-35, 21-0, 14-5) = (0, 0, 21, 9)$$

Аналогично для четвертой строки:

$$R_4' = R_4 - \frac{8}{7} R_2$$ (умножим R4 на 7, чтобы избежать дробей, и вычтем 8R2):

$$7R_4 = 7 \cdot (0, 8, -14, -4) = (0, 56, -98, -28)$$

$$8R_2 = 8 \cdot (0, 7, 0, 1) = (0, 56, 0, 8)$$

$$7R_4' = 7R_4 - 8R_2 = (0, 56-56, -98-0, -28-8) = (0, 0, -98, -36)$$

Матрица теперь выглядит так:

$$A \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 7 & 4 \\ 0 & 7 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 21 & 9 \\ 0 & 0 & -98 & -36 \end{pmatrix}$$.

Теперь обнулим элементы под первой ненулевой строкой третьего столбца. Для этого можно использовать третью строку. Умножим четвертую строку на 21, а третью — на 98, затем вычтем:

$$21R_4'' = 21 \cdot (0, 0, -98, -36) = (0, 0, -2058, -756)$$

$$98R_3' = 98 \cdot (0, 0, 21, 9) = (0, 0, 2058, 882)$$

$$R_4''' = 21R_4'' - 98R_3' = (0, 0, -2058 - 2058, -756 - 882) = (0, 0, -4116, -1638)$$

Получаем:

$$A \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 & 7 & 4 \\ 0 & 7 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 21 & 9 \\ 0 & 0 & -4116 & -1638 \end{pmatrix}$$.

Заметим, что последняя строка $$-4116$$ и $$-1638$$ пропорциональна третьей строке $$21$$ и $$9$$. Если взять $$R_4'''' = R_4''' + 196 R_3'$$, то получим нулевую строку.

Следовательно, ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в ступенчатом виде.

Поскольку у нас 3 ненулевые строки, ранг матрицы равен 3.

Ответ: 3.