3. Вычислить определитель матрицы А, выполнив разложение по строке или по столбцу:

Решение:

Дана матрица $$A = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 7 & 8 \\ 0 & 7 & 0 & 1 \\ 0 & 5 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 7 & 4 \end{pmatrix}$$.

Для вычисления определителя матрицы $$4\times4$$ удобно использовать разложение по строке или столбцу, содержащему наибольшее количество нулей. В данном случае выгодно разложить по второй или третьей строке, или по первому столбцу.

Разложим по первому столбцу:

$$\text{det}A = 3 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 0 \cdot C_{31} + 1 \cdot C_{41}$$, где $$C_{ij} = (-1)^{i+j} \\cdot M_{ij}$$ — алгебраическое дополнение.

Таким образом, нам нужно вычислить $$C_{11}$$ и $$C_{41}$$.

$$C_{11} = (-1)^{1+1} \\cdot M_{11} = 1 \\cdot \text{det} \begin{pmatrix} 7 & 0 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \\ -1 & 7 & 4 \end{pmatrix}$$.

Вычислим определитель $$3\times3$$ матрицы $$M_{11}$$:

$$\\text{det} M_{11} = 7 \\cdot (3 \cdot 4 - 2 \cdot 7) - 0 \\cdot (5 \cdot 4 - 2 \cdot (-1)) + 1 \\cdot (5 \cdot 7 - 3 \cdot (-1)) = 7 \\cdot (12 - 14) - 0 + 1 \\cdot (35 + 3) = 7 \\cdot (-2) + 38 = -14 + 38 = 24$$.

Итак, $$C_{11} = 24$$.

$$C_{41} = (-1)^{4+1} \\cdot M_{41} = -1 \\cdot \text{det} \begin{pmatrix} 5 & 7 & 8 \\ 7 & 0 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \end{pmatrix}$$.

Вычислим определитель $$3\times3$$ матрицы $$M_{41}$$:

$$\\text{det} M_{41} = 5 \\cdot (0 \cdot 2 - 1 \cdot 3) - 7 \\cdot (7 \cdot 2 - 1 \cdot 5) + 8 \\cdot (7 \cdot 3 - 0 \cdot 5) = 5 \\cdot (0 - 3) - 7 \\cdot (14 - 5) + 8 \\cdot (21 - 0) = 5 \\cdot (-3) - 7 \\cdot 9 + 8 \\cdot 21 = -15 - 63 + 168 = 90$$.

Итак, $$C_{41} = -90$$.

Теперь подставим значения $$C_{11}$$ и $$C_{41}$$ в формулу для $$\\text{det}A$$:

$$\\text{det}A = 3 \\cdot 24 + 1 \\cdot (-90) = 72 - 90 = -18$$.

Ответ: -18.