4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x³ − x² + 1 на отрезке [−2; 1].

Найдём производную:

\(f'(x)=3x^2-2x=x(3x-2)\).

Критические точки: \(x=0\) и \(x=\frac{2}{3}\). Обе точки принадлежат отрезку \([-2;1]\).

Вычислим значения функции в концах отрезка и критических точках:

\(f(-2)=-8-4+1=-11\).

\(f(0)=1\).

\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{23}{27}\).

\(f(1)=1-1+1=1\).

Сравнение значений: \(-11<\frac{23}{27}<1\).

Ответ: наименьшее значение равно \(-11\) при \(x=-2\); наибольшее значение равно \(1\) при \(x=0\) и \(x=1\).