2. Найти экстремумы функции: а) f(x) = x³ − 3x² + 2x + 4; б) f(x) = 3e²ˣ − 2e³ˣ.

а) \(f(x)=x^3-3x^2+2x+4\).

\(f'(x)=3x^2-6x+2\).

Решаем уравнение \(3x^2-6x+2=0\):

\(x_{1,2}=1\pm\frac{\sqrt3}{3}\).

Знак производной меняется с «+» на «−» в точке \(x_1=1-\frac{\sqrt3}{3}\), поэтому это точка максимума. В точке \(x_2=1+\frac{\sqrt3}{3}\) производная меняется с «−» на «+», поэтому это точка минимума.

Значения функции:

\(f\left(1-\frac{\sqrt3}{3}\right)=4+\frac{2\sqrt3}{9}\),

\(f\left(1+\frac{\sqrt3}{3}\right)=4-\frac{2\sqrt3}{9}\).

Ответ: максимум \(\left(1-\frac{\sqrt3}{3};4+\frac{2\sqrt3}{9}\right)\); минимум \(\left(1+\frac{\sqrt3}{3};4-\frac{2\sqrt3}{9}\right)\).

б) \(f(x)=3e^{2x}-2e^{3x}\).

\(f'(x)=6e^{2x}-6e^{3x}=6e^{2x}(1-e^x)\).

Так как \(e^{2x}>0\), критическая точка определяется уравнением \(1-e^x=0\), откуда \(x=0\).

При \(x<0\) производная положительна, а при \(x>0\) отрицательна. Значит, при \(x=0\) функция имеет максимум.

\(f(0)=3-2=1\).

Ответ: максимум \((0;1)\); минимума нет.