4. Найдите углы треугольника ВОР, если ∆АВС — равнобедренный с основанием ВС, ∠C = 68°, OP || AC.

Решение:

1. Найдем углы треугольника ABC:

1. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием \( BC \), то \( \angle B = \angle C = 68^{\circ} \).
2. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - (68^{\circ} + 68^{\circ}) = 180^{\circ} - 136^{\circ} = 44^{\circ} \).

2. Найдем углы треугольника BOP:

1. Так как \( OP \parallel AC \), то \( \angle BOP = \angle BAC = 44^{\circ} \) как соответственные углы при параллельных прямых \( OP \) и \( AC \) и секущей \( AB \).
2. Также \( \angle OBP = \angle ABC = 68^{\circ} \) (это тот же угол \( \angle B \)).
3. Сумма углов в треугольнике \( \triangle BOP \) равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle BPO = 180^{\circ} - (\angle BOP + \angle OBP) = 180^{\circ} - (44^{\circ} + 68^{\circ}) = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника BOP равны: \( \angle B = 68^{\circ} \), \( \angle BOP = 44^{\circ} \), \( \angle BPO = 68^{\circ} \).