4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y=4sinx- 2 cosx в точке хо= -π/4

Решение:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в данной точке.

Найдем производную функции \( y = 4\text{sin}x - 2\text{cos}x \):

\[ y' = (4\text{sin}x - 2\text{cos}x)' = 4\text{cos}x - 2(-\text{sin}x) = 4\text{cos}x + 2\text{sin}x \]

Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = -\frac{\pi}{4} \):

\[ y'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4\text{cos}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\text{sin}\left(-\frac{\pi}{4}\right) \]

Вспомним значения тригонометрических функций для \( -\frac{\pi}{4} \):

\[ \text{cos}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \text{cos}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]\[ \text{sin}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{sin}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Подставим значения:

\[ y'\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} \]

Ответ: \(\sqrt{2}\)