№ 4. На рисунке прямая АС касается окружности с центром О в точке А. Найдите угол ВАС, если угол АОВ равна 108°.

Решение:

1. Так как АС — касательная к окружности в точке А, то радиус ОА перпендикулярен касательной АС. Следовательно, \( \angle OAC = 90° \).
2. Рассмотрим треугольник ΔAOB. OA и OB — радиусы окружности, поэтому ΔAOB — равнобедренный.
3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).
4. Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( \angle OAB = \frac{180° - \angle AOB}{2} = \frac{180° - 108°}{2} = \frac{72°}{2} = 36° \).
5. Угол ВАС состоит из двух углов: \( \angle BAC = \angle OAC - \angle OAB \).
6. Подставим известные значения: \( \angle BAC = 90° - 36° = 54° \).

Ответ: 54°.