4. На рисунке OA=OC, <1 = <2. Доказать, что AB=BC.

Решение:

Мы имеем два треугольника: \(\triangle OAB\) и \(\triangle OCB\).

По условию задачи:

• \[ OA = OC \] (дано)
• \[ \angle 1 = \angle 2 \] (дано)
• \[ \angle AOB = \angle COB \] (как вертикальные углы, если мы проведем луч OB)

Однако, для доказательства равенства треугольников \(\triangle OAB\) и \(\triangle OCB\) нам нужно использовать более стандартные признаки равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними (СУС):
   У нас есть стороны \(OA = OC\) и углы \(\<1 = \<2\>\). Если \(\<1\) и \<2\) являются углами, прилежащими к сторонам \(OA\) и \(OC\) соответственно, то мы могли бы использовать этот признак. Судя по рисунку, \(\<1\) и \<2\) — это углы при вершине \(O\), прилежащие к сторонам \(OA\) и \(OC\) в треугольниках \(\triangle OAB\) и \(\triangle OCB\) соответственно.
2. Общая сторона OB:
   Сторона \(OB\) является общей для обоих треугольников: \(OB = OB\).

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (СУС), \(\triangle OAB = \triangle OCB\), так как:

• \[ OA = OC \] (дано)
• \[ \angle AOB = \angle COB \] (по условию \(\<1 = \<2\>\) и сторона OB является общей, что делает эти углы равными, если луч OB делит угол AOC пополам)
• \[ OB = OB \] (общая сторона)

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(AB = BC\).

Доказано.