4. На рисунке две хорды окружности АС и BD пересекаются в точке К так, что АК=8 см, КС=6 см, KD больше ВК в 3 раза. Найдите длину хорды BD.

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах (или свойстве пересекающихся хорд) произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

\( AK \cdot KC = BK \cdot KD \)

Нам дано:

\( AK = 8 \) см

\( KC = 6 \) см

\( KD = 3 \cdot BK \)

Подставим известные значения в уравнение:

\( 8 \cdot 6 = BK \cdot (3 \cdot BK) \)

\( 48 = 3 \cdot BK^2 \)

\( BK^2 = \frac{48}{3} \)

\( BK^2 = 16 \)

\( BK = \sqrt{16} \)

\( BK = 4 \) см (так как длина отрезка не может быть отрицательной).

Теперь найдём длину отрезка KD:

\( KD = 3 \cdot BK = 3 \cdot 4 \) см

\( KD = 12 \) см

Длина хорды BD равна сумме длин отрезков BK и KD:

\( BD = BK + KD \)

\( BD = 4 \text{ см} + 12 \text{ см} \)

\( BD = 16 \) см

Ответ: 16 см.