4. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Точка C лежит на отрезке AB. По условию AC = 75 и BC = 10.

2. Длина отрезка AB = AC + BC = 75 + 10 = 85.

3. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Следовательно, радиус окружности R = AC = 75.

4. Из точки B к этой окружности проведена касательная. Обозначим точку касания как T. Треугольник ATB является прямоугольным, так как радиус AT перпендикулярен касательной BT.

5. В прямоугольном треугольнике ATB:

- Гипотенуза AB = 85.

- Катет AT = R = 75.

- Катет BT — это длина касательной, которую нужно найти.

6. По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)

\( 85^2 = 75^2 + BT^2 \)

\( 7225 = 5625 + BT^2 \)

\( BT^2 = 7225 - 5625 = 1600 \)

\( BT = \sqrt{1600} = 40 \)

Ответ: 40