3. Площадь прямоугольного треугольника равна 800√3/3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} ab \), где a и b — катеты.

Нам дана площадь \( S = \frac{800\sqrt{3}}{3} \).

Один из острых углов равен 30°. Это может быть \( \angle A \) или \( \angle B \).

Случай 1: \( \angle A = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 60^{\circ} \).

Катет, прилежащий к углу 30°, — это катет b (AC).

Катет, противолежащий углу 30°, — это катет a (BC).

По определению тангенса:

\( \tan A = \frac{a}{b} \) \( \implies \tan 30^{\circ} = \frac{a}{b} \) \( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{b} \) \( \implies b = a\sqrt{3} \).

Подставим это в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} a (a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \).

Приравниваем данную площадь:

\( \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{800\sqrt{3}}{3} \).

\( a^2 = \frac{800\sqrt{3}}{3} · \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1600}{3} \).

\( a = \sqrt{\frac{1600}{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3} \).

Тогда \( b = a\sqrt{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3} · \sqrt{3} = \frac{40 · 3}{3} = 40 \).

Катет, прилежащий к углу 30°, — это b, равное 40.

Случай 2: \( \angle B = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle A = 60^{\circ} \).

Катет, прилежащий к углу 30°, — это катет a (BC).

Катет, противолежащий углу 30°, — это катет b (AC).

По определению тангенса:

\( \tan B = \frac{b}{a} \) \( \implies \tan 30^{\circ} = \frac{b}{a} \) \( \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a} \) \( \implies a = b\sqrt{3} \).

Подставим это в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} (b\sqrt{3}) b = \frac{b^2\sqrt{3}}{2} \).

Приравниваем данную площадь:

\( \frac{b^2\sqrt{3}}{2} = \frac{800\sqrt{3}}{3} \).

\( b^2 = \frac{800\sqrt{3}}{3} · \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1600}{3} \).

\( b = \sqrt{\frac{1600}{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3} \).

Тогда \( a = b\sqrt{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3} · \sqrt{3} = \frac{40 · 3}{3} = 40 \).

Катет, прилежащий к углу 30°, — это a, равное 40.

В обоих случаях катет, прилежащий к углу 30°, равен 40.

Ответ: 40