4. Кубик бросают 7 раз. С какой вероятностью выпадет ровно 4 шестерки?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Количество испытаний \( n = 7 \).

Вероятность выпадения шестерки (успеха) \( p = \frac{1}{6} \).

Вероятность невыпадения шестерки (неудачи) \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).

Нужно найти вероятность того, что выпадет ровно \( k = 4 \) шестерки.

Формула биномиальной вероятности:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

Рассчитаем число сочетаний:

\[ C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 × 6 × 5}{3 × 2 × 1} = 35 \]

Теперь рассчитаем вероятность:

\[ P(X=4) = 35 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{7-4} = 35 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^3 \]

\[ P(X=4) = 35 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{125}{216} = \frac{35 \times 125}{1296 \times 216} = \frac{4375}{279936} \]

Ответ: \(\frac{4375}{279936}\).