4. Капитан Джек Воробей играет в свою любимую игру в таверне: он бросает четыре монеты одновременно. Он выигрывает кружку рома, если выпадают ровно три орла. Сколько кружек рома в среднем выпьет капитан, если сыграет 20 раундов такой игры? Найдите дисперсию числа выигрышей за 10 игр.

Краткое пояснение:

1. Вероятность выигрыша одного раунда (кружки рома):

Бросается 4 монеты. Выигрыш - ровно 3 орла.

Это задача на биномиальное распределение с параметрами n=4 (количество бросков) и k=3 (количество успехов - орлов). Вероятность выпадения орла (p) для честной монеты равна 0.5. Вероятность выпадения решки (q) также равна 0.5.

Формула вероятности биномиального распределения: P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

Где C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4! / (3! * 1!) = (4*3*2*1) / ((3*2*1)*1) = 4.

P(X=3) = 4 * (0.5)³ * (0.5)¹ = 4 * 0.125 * 0.5 = 4 * 0.0625 = 0.25.

Итак, вероятность выигрыша в одном раунде (получения кружки рома) равна 0.25.

2. Сколько кружек рома в среднем выпьет капитан за 20 раундов?

Это математическое ожидание числа выигрышей в 20 раундах.

Для биномиального распределения E(X) = n * p.

E(20 раундов) = 20 * 0.25 = 5.

В среднем капитан выпьет 5 кружек рома за 20 раундов.

3. Дисперсия числа выигрышей за 10 игр.

Теперь рассматриваем 10 игр как 10 испытаний. Вероятность выигрыша в каждой игре (раунде) по-прежнему p = 0.25.

Для биномиального распределения D(X) = n * p * q.

D(10 игр) = 10 * 0.25 * (1 - 0.25) = 10 * 0.25 * 0.75.

D(10 игр) = 2.5 * 0.75 = 1.875.

Ответ:

• В среднем капитан выпьет 5 кружек рома за 20 раундов.
• Дисперсия числа выигрышей за 10 игр равна 1.875.