4. К окружности с центром О проведена касательная PS, S - точка касания. Найдите диаметр окружности и отрезок PS, если радиус окружности равен 12, a ∠POS = 45°.

Решение:

Дано: окружность с центром О, касательная PS, S - точка касания, \( R = 12 \), \( \angle POS = 45^{\circ} \).

Найти: диаметр \( D \) и отрезок \( PS \).

1. Диаметр: Диаметр \( D = 2R \). \( D = 2 \times 12 = 24 \).
2. Отрезок PS: \( OS \) — радиус, проведенный в точку касания S. Следовательно, \( OS \perp PS \), и \( \angle OSP = 90^{\circ} \). \( \triangle OSP \) — прямоугольный треугольник. \( OP \) — гипотенуза. \( OS = R = 12 \). \( \angle POS = 45^{\circ} \).
3. В прямоугольном \( \triangle OSP \): \( \text{tg}(\angle POS) = \frac{PS}{OS} \).
4. \( \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{PS}{12} \).
5. Так как \( \text{tg}(45^{\circ}) = 1 \), то \( 1 = \frac{PS}{12} \).
6. \( PS = 12 \).

Ответ: Диаметр окружности равен 24, отрезок PS равен 12.