4. Функция y = f(x) задана своим графиком (рис. 3). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях x -2,5 < f(x) ≤ 1,5; в) промежутки, на которых f'(x) > 0, f'(x) < 0; г) точки экстремума функции; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

Анализируем график функции (рис. 3).

1. а) Область определения функции:

   На графике видно, что функция определена для всех \( x \) от -4 до 3 (включая конечные точки, так как они закрашены). Значит, область определения \( D(f) = [-4; 3] \).

2. б) При каких значениях \( x \) \( -2,5 < f(x) ≤ 1,5 \):

   Находим на оси \( y \) значения -2,5 и 1,5. Проводим горизонтальные линии. Определяем, каким \( x \) соответствуют отрезки графика, лежащие между этими линиями (включая \( y = 1,5 \), но не включая \( y = -2,5 \)).

   • \( f(x) ≤ 1,5 \) для \( x ∈ [-4; 1,5] \).
   • \( f(x) > -2,5 \) для \( x ∈ (-4; 1) ∪ (1; 3] \).
   • Пересекая эти условия, получаем: \( x ∈ (-4; 1) ∪ (1; 1,5] \).
3. в) Промежутки, на которых \( f'(x) > 0 \) и \( f'(x) < 0 \):

   \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает) на промежутке \( (-4; 1) \).

   \( f'(x) < 0 \) (функция убывает) на промежутке \( (1; 3) \).

4. г) Точки экстремума функции:

   Точки экстремума — это точки, где производная равна нулю или не существует. На графике видно, что экстремумы достигаются в точках \( x = 1 \) (максимум) и \( x = -4 \) (минимум, если рассматривать только заданный отрезок) и \( x=3 \) (максимум, если рассматривать только заданный отрезок). Однако, если рассматривать локальные экстремумы, то точка \( x=1 \) является локальным максимумом. Точки \( x=-4 \) и \( x=3 \) — это границы отрезка.

   Локальный максимум: \( x = 1 \).

5. д) Наибольшее и наименьшее значения функции:

   Наибольшее значение функции на отрезке \( [-4; 3] \) равно 3 (достигается в точке \( x=3 \)).

   Наименьшее значение функции на отрезке \( [-4; 3] \) равно -4 (достигается в точке \( x=-4 \)).

Ответ: а) \( [-4; 3] \); б) \( (-4; 1) ∪ (1; 1,5] \); в) \( f'(x) > 0 \) на \( (-4; 1) \), \( f'(x) < 0 \) на \( (1; 3) \); г) локальный максимум при \( x=1 \); д) наибольшее значение 3, наименьшее значение -4.