4. $$\frac{x+1}{x-5} + \frac{x+4}{x+2} = \frac{42}{(x-5)(x+2)}$$

Решение:

Общий знаменатель для левой части уравнения — $$(x-5)(x+2)$$.

1. Приведем к общему знаменателю $$(x-5)(x+2)$$: $$\frac{(x+1)(x+2)}{(x-5)(x+2)} + \frac{(x+4)(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{42}{(x-5)(x+2)}$$.
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $$(x-5)(x+2)$$: $$(x+1)(x+2) + (x+4)(x-5) = 42$$.
3. Раскроем скобки: $$(x^2+2x+x+2) + (x^2-5x+4x-20) = 42$$.
4. Упростим: $$(x^2+3x+2) + (x^2-x-20) = 42$$.
5. Приведем подобные члены: $$2x^2 + 2x - 18 = 42$$.
6. Перенесем 42 в левую часть: $$2x^2 + 2x - 18 - 42 = 0$$.
7. Приведем подобные члены: $$2x^2 + 2x - 60 = 0$$.
8. Разделим на 2: $$x^2 + x - 30 = 0$$.
9. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = 1^2 - 4(1)(-30) = 1+120 = 121$$.
10. Найдем корни: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2}$$.
11. Получаем два корня: $$x_1 = \frac{-1+11}{2} = \frac{10}{2} = 5$$; $$x_2 = \frac{-1-11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$.

Проверка: Знаменатель $$x-5$$ обращается в ноль при $$x=5$$. Значит, $$x=5$$ является посторонним корнем. Проверим $$x=-6$$: знаменатели не обращаются в ноль.

Ответ: $$-6$$.