4. f(t)=3t2e3t+1; f' (0).

Решение:

Найдем производную функции \( f(t) = 3t^2 e^{3t} + 1 \). Используем правило произведения для \( 3t^2 e^{3t} \) и правило дифференцирования константы.

Пусть \( u = 3t^2 \) и \( v = e^{3t} \). Тогда \( u' = 6t \) и \( v' = e^{3t} \cdot 3 = 3e^{3t} \).

Производная от \( 3t^2 e^{3t} \) равна \( u'v + uv' = 6t \cdot e^{3t} + 3t^2 \cdot 3e^{3t} = 6te^{3t} + 9t^2e^{3t} \).

Производная от константы \( 1 \) равна \( 0 \).

Таким образом, \( f'(t) = 6te^{3t} + 9t^2e^{3t} \).

Теперь подставим \( t = 0 \) в выражение для производной:

\[ f'(0) = 6(0)e^{3(0)} + 9(0)^2e^{3(0)} = 0 \cdot e^0 + 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 \]

Ответ: f'(0) = 0.