4. f(t)=3t^2e^{3t}+1; f' (0).

Решение:

Найдем производную функции \( f(t) = 3t^2e^{3t} + 1 \). Используем правило произведения для \( 3t^2e^{3t} \) и правило дифференцирования константы.

Для \( 3t^2e^{3t} \), пусть \( u = 3t^2 \) и \( v = e^{3t} \).

\( u' = \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t \)

\( v' = \frac{d}{dt}(e^{3t}) = e^{3t} \cdot \frac{d}{dt}(3t) = 3e^{3t} \)

Производная произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \) = \( 6t \cdot e^{3t} + 3t^2 \cdot 3e^{3t} = 6te^{3t} + 9t^2e^{3t} \).

Производная константы \( +1 \) равна 0.

Таким образом, \( f'(t) = 6te^{3t} + 9t^2e^{3t} \).

Теперь подставим \( t = 0 \):

\( f'(0) = 6(0)e^{3(0)} + 9(0)^2e^{3(0)} \)

\( f'(0) = 0 \cdot e^0 + 0 \cdot e^0 \)

\( f'(0) = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \)

\( f'(0) = 0 + 0 \)

\( f'(0) = 0 \)

Ответ: 0