2. f(x)=(x-1)√x+1; f' (3).

Решение:

Сначала преобразуем функцию: \( f(x) = (x-1)\sqrt{x+1} \). Используем правило произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = x-1 \) и \( v = \sqrt{x+1} = (x+1)^{1/2} \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

\( u' = \frac{d}{dx}(x-1) = 1 \)

\( v' = \frac{d}{dx}((x+1)^{1/2}) = \frac{1}{2}(x+1)^{1/2 - 1} \cdot \frac{d}{dx}(x+1) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)

Теперь подставим в формулу производной произведения:

\( f'(x) = 1 \cdot \sqrt{x+1} + (x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)

\( f'(x) = \sqrt{x+1} + \frac{x-1}{2\sqrt{x+1}} \)

Приведем к общему знаменателю:

\( f'(x) = \frac{2(\sqrt{x+1})^2 + (x-1)}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2(x+1) + x-1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2x+2+x-1}{2\sqrt{x+1}} = \frac{3x+1}{2\sqrt{x+1}} \)

Теперь подставим \( x = 3 \):

\( f'(3) = \frac{3(3)+1}{2\sqrt{3+1}} = \frac{9+1}{2\sqrt{4}} = \frac{10}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)

Ответ: \(\frac{5}{2}\)