4. Докажите, что верно равенство (a+c)(a-c)-b(2a-b)-(a-b+c)(a-b-c)=0.

Решение:

Раскроем скобки:

1. \( (a+c)(a-c) = a^2 - c^2 \)
2. \( -b(2a-b) = -2ab + b^2 \)
3. \( -(a-b+c)(a-b-c) \). Пусть \( (a-b) = z \). Тогда \( -(z+c)(z-c) = -(z^2 - c^2) = -z^2 + c^2 \). Подставим \( z \) обратно: \( -(a-b)^2 + c^2 = -(a^2 - 2ab + b^2) + c^2 = -a^2 + 2ab - b^2 + c^2 \).

Сложим полученные выражения:

\( (a^2 - c^2) + (-2ab + b^2) + (-a^2 + 2ab - b^2 + c^2) \)

\( a^2 - c^2 - 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 + c^2 = 0 \)

Все члены сокращаются.

Равенство доказано.