№ 4. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 24√2 см, высота - 9 см. Найдите площади боковой и полной поверхностей пирамиды.

Решение:

1. Найдём сторону основания.
   Диагональ квадрата \( d = s\sqrt{2} \), где \( s \) — сторона квадрата.
   \( 24\sqrt{2} = s\sqrt{2} \Rightarrow s = 24 \text{ см} \).
2. Найдём площадь основания.
   \( S_{осн} = s^2 = 24^2 = 576 \text{ см}^2 \).
3. Найдём апофему пирамиды.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Половина стороны основания равна \( 24 \text{ см} / 2 = 12 \text{ см} \).
   По теореме Пифагора: \( a = \sqrt{h^2 + (s/2)^2} \), где \( h \) — высота пирамиды.
   \( a = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \).
4. Найдём площадь боковой поверхности.
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} P · a \).
   Периметр основания \( P = 4 \u00B7 s = 4 \u00B7 24 = 96 \text{ см} \).
   \( S_{бок} = \frac{1}{2} \u00B7 96 \u00B7 15 = 48 \u00B7 15 = 720 \text{ см}^2 \).
5. Найдём площадь полной поверхности.
   \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 720 + 576 = 1296 \text{ см}^2 \).

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 720 см², площадь полной поверхности равна 1296 см².