№ 5. Вычислить площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если диагональ основания равна 6√2 см, а боковое ребро 5 см.

Решение:

1. Находим сторону основания (квадрата):

Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \). Следовательно, сторона квадрата \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} \).

\( a = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \) см.

2. Находим площадь основания:

\( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².

3. Находим апофему (высоту боковой грани):

Апофема \( h_a \) — это катет прямоугольного треугольника, где гипотенуза — боковое ребро \( l = 5 \) см, а второй катет — половина стороны основания \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

\( h_a = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) см.

4. Находим площадь боковой поверхности:

Периметр основания \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} h_a = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48 \) см².

5. Находим площадь полной поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 48 = 84 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности равна 84 см².