4. Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A(-1;-1), В(-1;3) и D(5; -1). 1) Начертите прямоугольник ABCD. 2) Найдите координаты вершины С. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Задание 4. Прямоугольник ABCD

1. Начертите прямоугольник ABCD.

Отметим данные точки на координатной плоскости:

• A(-1; -1)
• B(-1; 3)
• D(5; -1)

Заметим, что точки A и B имеют одинаковую x-координату (-1), значит, отрезок AB вертикальный. Длина AB = |3 - (-1)| = 4.

Заметим, что точки A и D имеют одинаковую y-координату (-1), значит, отрезок AD горизонтальный. Длина AD = |5 - (-1)| = 6.

Так как ABCD — прямоугольник, стороны AB и AD перпендикулярны. Чтобы найти точку C, нужно провести от точки B отрезок, параллельный AD, и от точки D отрезок, параллельный AB. Точка их пересечения будет C.

Координата x точки C будет такой же, как у D (5), а координата y точки C будет такой же, как у B (3). Или наоборот: координата x точки C будет такая же, как у B (-1), а координата y точки C будет такая же, как у D (-1). Это неверно, так как C должна быть противоположна A.

Правильный подход: x-координата C будет как у D (5), а y-координата C будет как у B (3). Или x-координата C будет как у B (-1), а y-координата C будет как у D (5; -1) -> C(5; 3).

2. Найдите координаты вершины С.

Для прямоугольника ABCD, координаты вершины C можно найти, используя тот факт, что противолежащие стороны параллельны и равны. Или, что сумма векторов AB и AD равна вектору AC. Иными словами, если A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B), D=(x_D, y_D), то C=(x_B + x_D - x_A, y_B + y_D - y_A).

C = (-1 + 5 - (-1), 3 + (-1) - (-1)) = (-1 + 5 + 1, 3 - 1 + 1) = (5, 3).

Ответ: Координаты вершины С (5; 3).

3. Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали (AC и BD).

Найдем середину диагонали AC:

Середина AC = \( \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) \)

Середина AC = \( \left( \frac{-1 + 5}{2}, \frac{-1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2} \right) = (2, 1) \)

Проверим, найдя середину диагонали BD:

Середина BD = \( \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) \)

Середина BD = \( \left( \frac{-1 + 5}{2}, \frac{3 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2} \right) = (2, 1) \)

Ответ: Координаты точки пересечения диагоналей (2; 1).

4. Вычислите площадь и периметр прямоугольника.

Длина стороны AB = |3 - (-1)| = 4 см.

Длина стороны AD = |5 - (-1)| = 6 см.

Периметр прямоугольника:

\( P = 2 \cdot (AB + AD) \)

\( P = 2 \cdot (4 + 6) = 2 \cdot 10 = 20 \) см.

Площадь прямоугольника:

\( S = AB \cdot AD \)

\( S = 4 \cdot 6 = 24 \) см².

Ответ: Периметр прямоугольника равен 20 см, площадь равна 24 см².