4. Дано уравнение 4sin²x – 12sinx + 5 = 0. а) Решите уравнение; б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [- π; 2π].

Решение:

Это уравнение идентично второму заданию. Повторим решение:

Пусть \( y = сin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 4y^2 - 12y + 5 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-12)^2 - 4 · 4 · 5 = 144 - 80 = 64 \]

Корни квадратного уравнения:

\[ y_1 = \frac{12 + √64}{2 · 4} = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \]

\[ y_2 = \frac{12 - √64}{2 · 4} = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = сin x \).

1) \( сin x = \frac{5}{2} \). Так как \( \frac{5}{2} > 1 \), это уравнение не имеет решений.

2) \( сin x = \frac{1}{2} \).

Общее решение этого уравнения:

\[ x = (-1)^n + π n \] где \( n ∈ Z \).

Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [- π; 2π] \).

Рассмотрим случай \( x = + 2π k \) (когда \( n \) чётное, \( n = 2k \)):

• При \( k = 0 \): \( x = \). Этот корень принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).
• При \( k = 1 \): \( x = + 2π = \frac{7π}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).
• При \( k = 2 \): \( x = + 4π = \frac{13π}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).

Рассмотрим случай \( x = π - + 2π k \) (когда \( n \) нечётное, \( n = 2k+1 \)):

• При \( k = 0 \): \( x = π - = \frac{5π}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).
• При \( k = 1 \): \( x = π - + 2π = \frac{5π}{6} + 2π = \frac{17π}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).
• При \( k = -1 \): \( x = π - - 2π = -π - = -\frac{7π}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).

Ответ: а) \( x = (-1)^n + π n, n ∈ Z \); б) \( , \frac{5π}{6}, \frac{7π}{6} \).