3. Дано уравнение 6cos²x – 7cosx – 5 = 0. а) Решите уравнение; б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [- π; 2π].

Решение:

Это уравнение идентично первому заданию. Повторим решение:

Пусть \( y = сosx \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 6y^2 - 7y - 5 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-7)^2 - 4 · 6 · (-5) = 49 + 120 = 169 \]

Корни квадратного уравнения:

\[ y_1 = \frac{7 + √169}{2 · 6} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \]

\[ y_2 = \frac{7 - √169}{2 · 6} = \frac{7 - 13}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = сosx \).

1) \( сosx = \frac{5}{3} \). Так как \( \frac{5}{3} > 1 \), это уравнение не имеет решений.

2) \( сosx = -\frac{1}{2} \).

Общее решение этого уравнения:

\[ x = ± + 2π k \] где \( k ∈ Z \).

Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [- π; 2π] \).

Рассмотрим случай \( x = + 2π k \):

• При \( k = 0 \): \( x = \). Этот корень принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).
• При \( k = 1 \): \( x = + 2π = \frac{5π}{3} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \) (так как \( \frac{5}{3} > 2 \)).

Рассмотрим случай \( x = - + 2π k \):

• При \( k = 0 \): \( x = - \). Этот корень принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).
• При \( k = 1 \): \( x = - + 2π = -\frac{2π}{3} + \frac{6π}{3} = \frac{4π}{3} \). Этот корень принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \).
• При \( k = 2 \): \( x = - + 4π = -\frac{2π}{3} + \frac{12π}{3} = \frac{10π}{3} \). Этот корень не принадлежит отрезку \( [- π; 2π] \) (так как \( \frac{10}{3} > 2 \)).

Ответ: а) \( x = ± + 2π k, k ∈ Z \); б) \( -\frac{2π}{3}, , \frac{4π}{3} \).