4. Дано: ABCD — прямоугольник, E, F, M, N — середины сторон AB, BC, CD, AD соответственно, CD = 30, ∠DCA = 60°. Найти P_FEMN.

Так как ABCD — прямоугольник, \(AB=CD=30\). Поскольку F и N — середины противоположных сторон, получаем:

\(BF=FC=AN=ND=15\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. По условию \(\angle DCA=60^\circ\), поэтому:

\(\tan 60^\circ=\frac{AD}{CD}\).

Тогда:

\(AD=30\tan 60^\circ=30\sqrt{3}\).

Точки E и M — середины боковых сторон, поэтому вертикальная составляющая каждой стороны четырёхугольника FEMN равна \(\frac{AD}{2}=15\sqrt{3}\), а горизонтальная — 15.

По теореме Пифагора:

\(FE=\sqrt{15^2+(15\sqrt{3})^2}=\sqrt{225+675}=30\).

Все четыре стороны четырёхугольника FEMN равны, следовательно:

\(P_{FEMN}=4\cdot30=120\).

Ответ: 120.