4. * Дано: AB = BC, AC = 10 см (рис. 5.96). а) Между какими целыми числами заключена длина высоты АВС? б) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон.

Решение:

а) Длина высоты в треугольнике ABC:

По условию, \( AB = BC \), значит, треугольник ABC — равнобедренный. AC = 10 см. Т — точка на основании AC, предполагается, что BT — высота.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Следовательно, точка T является серединой отрезка AC.

\( AT = TC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

В задании указан угол \( \angle A = 60° \) на рисунке 5.96. Если \( \angle A = 60° \) и \( AB = BC \), то \( \angle C = \angle A = 60° \). Следовательно, \( \angle ABC = 180° - (60° + 60°) = 60° \).

Таким образом, треугольник ABC является равносторонним, где \( AB = BC = AC = 10 \) см.

Высота BT в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \), где \( a \) — сторона треугольника.

\( BT = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

Приближенное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \).

\( BT \approx 5 \cdot 1.732 = 8.66 \) см.

Целые числа, между которыми заключена длина высоты, — 8 и 9.

б) Сумма длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон:

Точка T — середина стороны AC. Пусть M — середина AB, N — середина BC.

Отрезки, соединяющие T с серединами сторон: TM, TN.

TM — средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AC и AB. Следовательно, TM || BC и \( TM = \frac{1}{2} BC \).

TN — средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AC и BC. Следовательно, TN || AB и \( TN = \frac{1}{2} AB \).

Так как \( AB = BC = 10 \) см, то

\( TM = \frac{1}{2} × 10 = 5 \) см.

\( TN = \frac{1}{2} × 10 = 5 \) см.

Сумма длин отрезков: \( TM + TN = 5 + 5 = 10 \) см.

Ответ: а) Длина высоты заключена между 8 и 9 см. б) Сумма длин отрезков равна 10 см.