4) √2 cos 4x - 1 = 0;

Решение:

Преобразуем уравнение к виду \( \cos(4x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Уравнение вида \( \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) решается по формуле \( \alpha = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

1. Приравняем аргумент косинуса к этой формуле: \( 4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)
2. Разделим обе части на 4: \( x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{2\pi k}{4} \)
3. Упростим: \( x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \)

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).