395 Подберите неизвестное значение в распределении случайной величины Y так, чтобы дисперсия была наименьшей.

Решение:

Дисперсия случайной величины Y вычисляется как \( D(Y) = M(Y^2) - (M(Y))^2 \). Чтобы минимизировать дисперсию, нам нужно сделать так, чтобы значения случайной величины были как можно ближе к её математическому ожиданию.

а) \( Y \begin{pmatrix} -2 & x & 2 \\ 0,4 & 0,5 & 0,1 \end{pmatrix} \)

1. Найдем математическое ожидание \( M(Y) \): \( M(Y) = (-2) 0,4 + x 0,5 + 2 0,1 = -0,8 + 0,5x + 0,2 = 0,5x - 0,6 \).
2. Найдем математическое ожидание квадрата \( M(Y^2) \): \( M(Y^2) = (-2)^2 0,4 + x^2 0,5 + 2^2 0,1 = 4 0,4 + 0,5x^2 + 4 0,1 = 1,6 + 0,5x^2 + 0,4 = 0,5x^2 + 2 \).
3. Дисперсия \( D(Y) \) как функция от \( x \): \( D(Y) = (0,5x^2 + 2) - (0,5x - 0,6)^2 \)
4. \( D(Y) = 0,5x^2 + 2 - (0,25x^2 - 0,6x + 0,36) \)
5. \( D(Y) = 0,5x^2 + 2 - 0,25x^2 + 0,6x - 0,36 \)
6. \( D(Y) = 0,25x^2 + 0,6x + 1,64 \).
7. Это квадратичная функция, ветви которой направлены вверх. Минимум достигается в вершине параболы \( x = -\frac{b}{2a} \): \( x = -\frac{0,6}{2 0,25} = -\frac{0,6}{0,5} = -1,2 \).

б) \( Y \begin{pmatrix} 0 & x & 2 \\ 0,1 & 0,7 & 0,2 \end{pmatrix} \)

1. Найдем математическое ожидание \( M(Y) \): \( M(Y) = 0 0,1 + x 0,7 + 2 0,2 = 0 + 0,7x + 0,4 = 0,7x + 0,4 \).
2. Найдем математическое ожидание квадрата \( M(Y^2) \): \( M(Y^2) = 0^2 0,1 + x^2 0,7 + 2^2 0,2 = 0 + 0,7x^2 + 4 0,2 = 0,7x^2 + 0,8 \).
3. Дисперсия \( D(Y) \) как функция от \( x \): \( D(Y) = (0,7x^2 + 0,8) - (0,7x + 0,4)^2 \)
4. \( D(Y) = 0,7x^2 + 0,8 - (0,49x^2 + 0,56x + 0,16) \)
5. \( D(Y) = 0,7x^2 + 0,8 - 0,49x^2 - 0,56x - 0,16 \)
6. \( D(Y) = 0,21x^2 - 0,56x + 0,64 \).
7. Это квадратичная функция, ветви которой направлены вверх. Минимум достигается в вершине параболы \( x = -\frac{b}{2a} \): \( x = -\frac{-0,56}{2 0,21} = \frac{0,56}{0,42} = \frac{56}{42} = \frac{4}{3} \).

Ответ: а) x = -1,2; б) x = 4/3.