394 В случайном эксперименте игральный кубик бросают дважды. Найдите дисперсию (с округлением до тысячных) случайной величины:

Решение:

Дисперсия случайной величины X обозначается как D(X). Она вычисляется по формуле: \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \), где M(X) — математическое ожидание, а M(X^2) — математическое ожидание квадрата случайной величины.

а) Сумма очков на двух костях:

1. Возможные значения суммы очков: от 2 до 12.
2. Рассчитаем математическое ожидание суммы очков \( M(S) \) и математическое ожидание квадрата суммы очков \( M(S^2) \).
3. \( M(S) = \sum_{i=2}^{12} i P(S=i) \)
4. \( M(S^2) = \sum_{i=2}^{12} i^2 P(S=i) \)
5. D(S) = M(S^2) - (M(S))^2.

б) Модуль разности очков на двух костях:

1. Возможные значения модуля разности: от 0 до 5.
2. Аналогично пункту а), рассчитаем \( M(|X_1 - X_2|) \) и \( M((X_1 - X_2)^2) \).
3. D(|X_1 - X_2|) = M((|X_1 - X_2|)^2) - (M(|X_1 - X_2|))^2.

в) Наибольшее число очков:

1. Возможные значения: от 1 до 6.
2. \( M(max(X_1, X_2)) \) и \( M((max(X_1, X_2))^2) \)
3. D(max(X_1, X_2)) = M((max(X_1, X_2))^2) - (M(max(X_1, X_2)))^2.

г) Наименьшее число очков:

1. Возможные значения: от 1 до 6.
2. \( M(min(X_1, X_2)) \) и \( M((min(X_1, X_2))^2) \)
3. D(min(X_1, X_2)) = M((min(X_1, X_2))^2) - (M(min(X_1, X_2)))^2.

Примечание: Для точного расчета необходимы полные таблицы распределения вероятностей для каждой величины, что требует детального перечисления всех 36 исходов броска двух кубиков.