352. В одной клетке квадратной таблицы 4 × 4 стоит знак «−», а в остальных — плюсы. Разрешается одновременно менять знак на противоположный во всех клетках одного столбца или одной строки. Докажите, что, сколько бы мы ни проводили таких замен, нам не удастся получить таблицу, состоящую из одних плюсов.

Раскрасим клетки таблицы в шахматном порядке. В каждой строке и в каждом столбце таблицы 4 × 4 находятся ровно две чёрные и две белые клетки.

1. При изменении знаков в одной строке меняются знаки ровно в двух чёрных клетках и в двух белых клетках.
2. То же самое происходит при изменении знаков в одном столбце.
3. Следовательно, чётность количества минусов среди чёрных клеток и чётность количества минусов среди белых клеток не изменяются.
4. В исходной таблице один минус находится либо на чёрной, либо на белой клетке. Поэтому в одной из двух групп число минусов нечётно.
5. В таблице, состоящей из одних плюсов, число минусов в обеих группах равно нулю, то есть чётно. Это невозможно из-за сохранения чётности.

Ответ: получить таблицу из одних плюсов невозможно.