33. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 5, а острый угол, прилежащий к нему, равен 30°. Найдите площадь треугольника. В ответе запишите площадь, умноженную на √3.

Решение:

Пусть данный катет — \( b = 5 \), а прилежащий угол — \( \alpha = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \).

Значит, противолежащий катет \( a = b \cdot \operatorname{tg} \alpha = 5 \cdot \operatorname{tg} 30^{\circ} \). Так как \( \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), то \( a = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \).

Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot 5 = \frac{25}{2\sqrt{3}} \).

По условию нужно найти площадь, умноженную на \( \sqrt{3} \): \( S \cdot \sqrt{3} = \frac{25}{2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{25}{2} = 12.5 \).

Ответ: 12.5