3. Задача на тему «Свойства прямоугольных треугольников». В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найти АС и АВ.

Решение:

Дано:

ΔABC — прямоугольный (∠C = 90°).

Внешний угол при вершине A = 120°.

AC + AB = 18 см.

Найти: AC, AB.

1. Найдем угол ∠BAC:

Внешний угол при вершине A смежен с внутренним углом ∠BAC. Сумма смежных углов равна 180°.

\( \angle BAC = 180° - 120° = 60° \)

2. Найдем угол ∠ABC:

Сумма углов в прямоугольном треугольнике равна 180°. Один угол равен 90°, второй — 60°.

\( \angle ABC = 180° - 90° - 60° = 30° \)

3. Используем свойства прямоугольного треугольника:

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

В нашем треугольнике катет AC лежит против угла ∠ABC = 30°.

Следовательно, \( AC = \frac{1}{2} AB \).

4. Решим систему уравнений:

У нас есть два уравнения:

1. \( AC + AB = 18 \)
2. \( AC = \frac{1}{2} AB \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( \frac{1}{2} AB + AB = 18 \)

\( \frac{3}{2} AB = 18 \)

\( AB = 18 \cdot \frac{2}{3} \)

\( AB = 12 \) см.

Теперь найдем AC:

\( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см.

Проверка: \( AC + AB = 6 + 12 = 18 \) см. Условие выполнено.

Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см.