2. Доказать, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Проведем высоту BH к основанию AC. Таким образом, ∠BHA = ∠BHC = 90°.

1. Докажем, что BH — медиана:

Рассмотрим треугольники ABH и CBH:

• AB = CB (по условию, так как треугольник равнобедренный).
• BH — общая сторона.
• ∠BHA = ∠BHC = 90° (по условию, BH — высота).

Следовательно, треугольники ABH и CBH равны по двум катетам и гипотенузе (или по гипотенузе и острому углу, так как углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Из равенства треугольников следует, что AH = CH. Так как BH делит основание AC пополам, то BH является медианой.

2. Докажем, что BH — биссектриса:

Из равенства треугольников ABH и CBH следует, что ∠ABH = ∠CBH. Это означает, что высота BH делит угол ∠ABC пополам.

Следовательно, BH является биссектрисой.

Вывод: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.