3. Выясните, имеет ли решение система и сколько: {2x - y = 10, 3y + 30 = 6x.

Решение:

Данная система уравнений:

\( \begin{cases} 2x - y = 10 \\ 3y + 30 = 6x \end{cases} \)

Преобразуем второе уравнение, чтобы привести его к стандартному виду \( Ax + By = C \):

\( 3y + 30 = 6x \)

\( -6x + 3y = -30 \)

Разделим обе части на -3, чтобы упростить:

\( 2x - y = 10 \)

Теперь система выглядит так:

\( \begin{cases} 2x - y = 10 \\ 2x - y = 10 \end{cases} \)

Мы видим, что оба уравнения в системе идентичны. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Любая пара \( (x, y) \), удовлетворяющая уравнению \( 2x - y = 10 \), является решением данной системы.

Чтобы показать это, выразим \( y \) через \( x \) из первого уравнения:

\( y = 2x - 10 \)

Любое значение \( x \) дает соответствующее значение \( y \). Например:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 2(0) - 10 = -10 \). Пара \( (0; -10) \) — решение.
• Если \( x = 5 \), то \( y = 2(5) - 10 = 0 \). Пара \( (5; 0) \) — решение.
• Если \( x = 10 \), то \( y = 2(10) - 10 = 10 \). Пара \( (10; 10) \) — решение.

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений.