3). Вычислите: a). $$\frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}}$$; б). $$\frac{5^6 \cdot 125}{25^4}$$.

Задание 3. Вычисления

а) Вычисление дроби с одинаковыми основаниями

\[ \frac{7^9 \cdot 7^{11}}{7^{18}} \]

Шаг 1: Используем свойство степеней с одинаковыми основаниями (при умножении степени складываются).

В числителе: $$7^9 \cdot 7^{11} = 7^{9+11} = 7^{20}$$

Теперь дробь выглядит так:

\[ \frac{7^{20}}{7^{18}} \]

Шаг 2: Используем свойство степеней с одинаковыми основаниями (при делении степени вычитаются).

\[ 7^{20 - 18} = 7^2 \]

Шаг 3: Вычисляем результат.

\[ 7^2 = 49 \]

Ответ: 49.

б) Вычисление дроби с разными основаниями

\[ \frac{5^6 \cdot 125}{25^4} \]

Шаг 1: Представим числа в виде степеней одного основания.

Заметим, что $$125 = 5^3$$ и $$25 = 5^2$$.

Подставим эти значения в дробь:

\[ \frac{5^6 \cdot 5^3}{(5^2)^4} \]

Шаг 2: Упростим числитель и знаменатель.

В числителе: $$5^6 \cdot 5^3 = 5^{6+3} = 5^9$$

В знаменателе: $$(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$$ (степень возводим в степень, показатели перемножаются).

Теперь дробь выглядит так:

\[ \frac{5^9}{5^8} \]

Шаг 3: Используем свойство степеней с одинаковыми основаниями (при делении степени вычитаются).

\[ 5^{9 - 8} = 5^1 \]

Шаг 4: Вычисляем результат.

\[ 5^1 = 5 \]

Ответ: 5.