3. Вычислить \(\int_0^1 (5x^4 - 8x^3) dx\).

Решение:

Для вычисления определённого интеграла сначала найдём первообразную функции \( f(x) = 5x^4 - 8x^3 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилам:
\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

\( F(x) = \int (5x^4 - 8x^3) dx = 5 \int x^4 dx - 8 \int x^3 dx \)
\[ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 8 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C \]
\[ F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 8 \cdot \frac{x^4}{4} + C \]
\[ F(x) = x^5 - 2x^4 + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

\[ \int_0^1 (5x^4 - 8x^3) dx = [x^5 - 2x^4]_0^1 \]
\[ = (1^5 - 2 \cdot 1^4) - (0^5 - 2 \cdot 0^4) \]
\[ = (1 - 2) - (0 - 0) \]
\[ = -1 - 0 \]
\[ = -1 \]

Ответ: -1.