3)В цепи, изображенной на рисунке, сопротивление диода в прямом направлении пренебрежимо мало, а в обратном – многократно превышает сопротивление резисторов. При подключении к точке А положительного полюса, а к точке В отрицательного полюса батареи с ЭДС 12 В и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением потребляемая в цепи мощность равна 4,8 Вт. При изменении полярности подключения батареи потребляемая в цепи мощность становится равной 7,2 Вт. Укажите как течет ток через диоды в обоих случаях, и определите сопротивление резисторов R1 и R2.

Анализ схемы и условий:

На схеме два резистора $$ R_1 $$ и $$ R_2 $$, и два диода. Диоды пропускают ток только в одном направлении. В прямом направлении их сопротивление мало (близко к нулю), в обратном — велико (близко к бесконечности).

Случай 1: Батарея подключена положительным полюсом к А, отрицательным к В. ЭДС = 12 В, Мощность P1 = 4,8 Вт.

Ток течет от плюса к минусу. Если мы подключаем плюс к А, то:

• Диод, включенный последовательно с $$ R_1 $$, находится под прямым напряжением (анод к плюсу, катод к земле, если считать В землей). Ток через него пойдет.
• Диод, включенный последовательно с $$ R_2 $$, находится под обратным напряжением (анод к земле, катод к плюсу). Ток через него не пойдет (он заперт).

Таким образом, в первом случае ток будет течь через $$ R_1 $$ и первый диод, а также через $$ R_2 $$ (который в этой конфигурации находится под прямым напряжением, если точка А является положительным, а точка В - отрицательным полюсом). Однако, согласно схеме, диод D1 (с $$R_1$$) и диод D2 (с $$R_2$$) находятся в параллели, а затем последовательно с $$R_2$$.

Рассмотрим подключение А к +12В, В к 0В.

Первый случай: А к +, В к - (ЭДС = 12 В, P1 = 4,8 Вт)

• Диод D1 (с $$ R_1 $$): анод к А (+12В), катод подключен к точке соединения D2 и $$ R_2 $$. Если напряжение на $$ R_2 $$ положительное, то D1 открыт.
• Диод D2 (с $$ R_2 $$): анод подключен к точке соединения D1 и $$ R_1 $$, катод к В (0В).

Если ток течет от А, он может пойти через $$ R_1 $$ и D1, или через $$ R_2 $$ и D2. В данном случае, если А – плюс, а В – минус, то ток через $$ R_2 $$ и D2 будет идти от точки соединения D1 и $$ R_1 $$ к В (0В). Диод D2 будет открыт, если напряжение на его аноде будет выше, чем на катоде (0В). Диод D1 будет открыт, если напряжение на его аноде (12В) выше, чем на катоде (точка соединения D2 и $$R_2$$).

Уточнение по схеме:

Точка А подключена к положительному полюсу, точка В — к отрицательному. Резистор $$ R_1 $$ соединен последовательно с диодом D1. Этот блок соединен параллельно с резистором $$ R_2 $$, который соединен последовательно с диодом D2. Вся эта параллельная комбинация подключена между точками А и В.

Случай 1: А (+12В), В (0В)

• Ветка с $$ R_1 $$ и D1: А (12В) -> $$ R_1 $$ -> D1 (анод -> катод) -> точка соединения с $$ R_2 $$ и D2. Диод D1 будет открыт, так как его анод подключен к более положительному потенциалу (через $$R_1$$, но ток будет идти).
• Ветка с $$ R_2 $$ и D2: А (12В) -> точка соединения с $$ R_1 $$ и D1 -> D2 (анод -> катод) -> В (0В). Диод D2 будет открыт, если потенциал на его аноде будет выше 0В.

Интерпретация работы диодов:

Диод пропускает ток, когда анод положительнее катода. Обратное смещение - когда катод положительнее анода.

Случай 1 (А к +, В к -):

Ток течет от А (12В) к В (0В).

Схема выглядит так: А -- ($$ R_1 $$) -- D1 -- Общий узел -- D2 -- В. И параллельно: А -- ($$ R_2 $$) -- Общий узел.

Правильная интерпретация схемы:

Точка А является одним входом, точка В — другим. Резистор $$ R_1 $$ и диод D1 соединены последовательно, и эта ветка подключена между А и точкой соединения $$ R_2 $$ и D2. Резистор $$ R_2 $$ и диод D2 соединены последовательно, и эта ветка подключена между точкой соединения $$ R_1 $$ и D1 и точкой В.

Давайте перерисуем и разберемся:

По схеме:

A -> точка X

X -> $$ R_1 $$ -> D1 -> точка Y

X -> $$ R_2 $$ -> D2 -> точка Y

Y -> B

Случай 1: А = +12В, В = 0В

Ток течет от А к В.

• Ветка 1 ($$ R_1 $$, D1): Ток идет от А, через $$ R_1 $$, через D1. Диод D1 открыт, если потенциал на его аноде (после $$ R_1 $$) выше, чем на катоде (точка Y).
• Ветка 2 ($$ R_2 $$, D2): Ток идет от А, через $$ R_2 $$, через D2. Диод D2 открыт, если потенциал на его аноде (после $$ R_2 $$) выше, чем на катоде (точка Y).

Это не совсем верно. Давайте смотреть по направлениям диодов:

Случай 1: А (+) -> В (-)

А (12В) -----------o----------- B (0В)

| |

R1 R2

| |

D1(->) D2(->)

| |

------------o------------

В этом случае, если А – плюс, а В – минус:

• Путь через $$ R_1 $$ и D1: Ток идет от А, через $$ R_1 $$, через D1 (стрелка направлена от А к В). Диод D1 будет открыт.
• Путь через $$ R_2 $$ и D2: Ток идет от А, через $$ R_2 $$, через D2 (стрелка направлена от А к В). Диод D2 будет открыт.

Таким образом, в первом случае (А к +, В к -), оба диода открыты.

Общее сопротивление цепи в этом случае равно сопротивлению параллельно соединенных $$ R_1 $$ и $$ R_2 $$ (так как сопротивление диодов в прямом направлении пренебрежимо мало).

Пусть $$ R = R_1 = R_2 $$ (предположим, что они равны, а потом проверим). Тогда общее сопротивление $$ R_{общ1} = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2} $$.

По закону Ома для полной цепи: $$ I_1 = \frac{E}{R_{общ1}} = \frac{12}{R/2} = \frac{24}{R} $$.

Мощность $$ P_1 = E  I_1 = 12 \text{ В} \times \frac{24}{R} \text{ А} = \frac{288}{R} \text{ Вт} $$.

По условию, $$ P_1 = 4,8 \text{ Вт} $$.

$$ \frac{288}{R} = 4,8 $$

$$ R = \frac{288}{4,8} = 60 \text{ Ом} $$.

Итак, если $$ R_1 = R_2 $$, то $$ R_1 = R_2 = 60 \text{ Ом} $$.

Случай 2: А (-), В (+) (ЭДС = 12 В, P2 = 7,2 Вт)

Теперь полярность изменена: А к 0В, В к 12В. Ток течет от В к А.

• Ветка с $$ R_1 $$ и D1: Ток идет от В (12В), через D1 (стрелка направлена от А к В, т.е. против тока), через $$ R_1 $$, к А (0В). Диод D1 будет закрыт.
• Ветка с $$ R_2 $$ и D2: Ток идет от В (12В), через D2 (стрелка направлена от А к В, т.е. против тока), через $$ R_2 $$, к А (0В). Диод D2 будет закрыт.

Проверим правильность трактовки схемы:

Схема: A --(+ $$ R_1 $$)--> D1 --> точка Z. A --(+ $$ R_2 $$)--> D2 --> точка Z. Z --> B.

Случай 1: А (+12В), B (0В)

Диод D1: анод на А, катод на Z. Диод D2: анод на А, катод на Z. Резисторы $$ R_1 $$ и $$ R_2 $$ соединены параллельно между А и Z. Z подключен к В.

Это совершенно другая интерпретация схемы! Давайте вернемся к стандартной схеме изображения резисторов и диодов.

Схема:

A ---o---o--- B

| |

R1 R2

| |

D1 D2

| |

----o---o----

(Стрелки диодов указывают направление от А к В)

Случай 1: А (+12В), В (0В)

Ток течет от А к В.

• Ветка с $$ R_1 $$ и D1: А -> $$ R_1 $$ -> D1 (прямое направление) -> В. Ток идет.
• Ветка с $$ R_2 $$ и D2: А -> $$ R_2 $$ -> D2 (прямое направление) -> В. Ток идет.

В первом случае оба диода открыты.

Сопротивление первой ветки $$ R_1 + R_{D1} $$. Сопротивление второй ветки $$ R_2 + R_{D2} $$.

Так как $$ R_{D1}  R_{D2}  0 $$ (пренебрежимо мало), то сопротивление первой ветки $$ R_1 $$, второй ветки $$ R_2 $$.

Эти две ветки соединены параллельно между точками А и В.

Общее сопротивление цепи $$ R_{общ1} = \frac{R_1  R_2}{R_1 + R_2} $$.

Мощность $$ P_1 = \frac{E^2}{R_{общ1}} $$.

$$ 4,8 = \frac{12^2}{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}} = \frac{144(R_1 + R_2)}{R_1 R_2} $$.

$$ \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{144}{4,8} = 30 \text{ Ом} $$.

Случай 2: А (0В), В (+12В)

Теперь ток течет от В к А.

• Ветка с $$ R_1 $$ и D1: В -> D1 (обратное направление) -> $$ R_1 $$ -> А. Диод D1 закрыт. Ток через эту ветку не идет.
• Ветка с $$ R_2 $$ и D2: В -> D2 (обратное направление) -> $$ R_2 $$ -> А. Диод D2 закрыт. Ток через эту ветку не идет.

Есть еще одна интерпретация схемы:

A -- ($$ R_1 $$) --> D1 --> точка Y

Y -- ($$ R_2 $$) --> D2 --> B

Случай 1: А (+12В), В (0В)

Ток идет от А к В.

• Ветка $$ R_1 $$-D1: A -> $$ R_1 $$ -> D1 (анод на А, катод после $$ R_1 $$). Диод D1 открыт.
• Ветка $$ R_2 $$-D2: точка Y -> $$ R_2 $$ -> D2 (анод после $$ R_2 $$, катод на В).

Проверим стандартное обозначение схем:

A ------o------ B

| |

R1 R2

| |

D1(>) D2(>)

| |

--------o--------

Стрелки диодов указывают направление тока. В первом случае (А+, В-) ток должен идти от А к В.

Случай 1: А = +12В, В = 0В

• Ветка с $$ R_1 $$ и D1: А (12В) -> $$ R_1 $$ -> D1 (прямое направление) -> В (0В). Диод D1 открыт.
• Ветка с $$ R_2 $$ и D2: А (12В) -> $$ R_2 $$ -> D2 (прямое направление) -> В (0В). Диод D2 открыт.

В этом случае оба диода открыты.

Общее сопротивление цепи — это параллельное соединение $$ R_1 $$ и $$ R_2 $$.

$$ R_{общ1} = \frac{R_1  R_2}{R_1 + R_2} $$.

По условию $$ P_1 = \frac{E^2}{R_{общ1}} = 4,8 \text{ Вт} $$.

$$ R_{общ1} = \frac{12^2}{4,8} = \frac{144}{4,8} = 30 \text{ Ом} $$.

Случай 2: А = 0В, В = +12В

Ток течет от В к А.

• Ветка с $$ R_1 $$ и D1: В (12В) -> D1 (обратное направление) -> $$ R_1 $$ -> А (0В). Диод D1 закрыт.
• Ветка с $$ R_2 $$ и D2: В (12В) -> D2 (обратное направление) -> $$ R_2 $$ -> А (0В). Диод D2 закрыт.

Это означает, что если оба диода закрыты, ток не должен течь. Но мощность P2 = 7,2 Вт, что означает, что ток течет!

Значит, моя интерпретация схемы или работы диодов неверна.

Вернемся к условию: