3. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС = 216, НС = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Найдем длину АН:

Так как ВН — высота, то ∠ВНС = 90°.

В прямоугольном треугольнике ВНС:

cos(∠ACB) = HC / BC

\[ \cos(40^{\circ}) = 54 / BC \]

\[ BC = 54 / \cos(40^{\circ}) \]

Примерное значение cos(40°) ≈ 0.766

\[ BC \approx 54 / 0.766 \approx 70.5 \]

AH = AC - HC

\[ AH = 216 - 54 = 162 \]

2. Найдем длину АМ:

ВМ — медиана, поэтому точка М делит сторону АС пополам.

\[ AM = AC / 2 = 216 / 2 = 108 \]

3. Найдем длину МН:

MH = AM - AH (если точка H находится между A и M) или MH = AH - AM (если точка M находится между A и H).

Поскольку АС = 216 и НС = 54, точка Н находится ближе к С, чем середина АС (которая на расстоянии 108 от С).

AH = 162, AM = 108.

Значит, точка М находится между А и Н.

\[ MH = AH - AM = 162 - 108 = 54 \]

4. Найдем высоту ВН:

В прямоугольном треугольнике ВНС:

tan(∠ACB) = BH / HC

\[ \tan(40^{\circ}) = BH / 54 \]

\[ BH = 54 \times \tan(40^{\circ}) \]

Примерное значение tan(40°) ≈ 0.839

\[ BH \approx 54 \times 0.839 \approx 45.3 \]

5. Найдем угол АМВ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВМН. У нас есть катеты BH и MH.

\[ \tan(∠AMB) = BH / MH \]

\[ \tan(∠AMB) \approx 45.3 / 54 \approx 0.839 \]

\[ ∠AMB = \arctan(0.839) \]

\[ ∠AMB \approx 40^{\circ} \]

Ответ: 40