3. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и бис-сектрисой BD.

3. Решение:

Найдем угол B в треугольнике ABC:

\( \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \)

BD — биссектриса угла B, поэтому:

\( \angle ABD = \frac{\angle B}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \)

BH — высота, значит, \( \angle BHA = 90^{\circ} \).

В треугольнике ABH:

\( \angle ABH = 180^{\circ} - (\angle A + \angle BHA) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \)

Угол между высотой BH и биссектрисой BD:

\( \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \)

Ответ: 10