3. В треугольнике ABD проведена прямая, параллельная стороне ВА, пересекающая стороны BD и AD в точках Р и К, соответственно. РМ - биссектриса угла KPD. Найти угол PMD, если величина угла В равна 50°, а угла А равна 70°.

Решение:

1. Сначала найдем угол ADB в треугольнике ABD: \( \angle ADB = 180^\circ - (\angle B + \angle A) = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
2. Так как прямая PK параллельна стороне BA, то угол KPD равен углу ADB как соответственные углы при параллельных прямых PK и BA и секущей BD. Следовательно, \( \angle KPD = \angle ADB = 60^\circ \).
3. РМ — биссектриса угла KPD, поэтому \( \angle KPM = \angle MPD = \frac{\angle KPD}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
4. Угол APD и угол KPD — смежные, значит \( \angle APD = 180^\circ - \angle KPD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
5. Рассмотрим треугольник APK. Угол PAK равен углу A, то есть \( \angle PAK = 70^\circ \). Угол AKР равен углу ABD как накрест лежащие углы при параллельных PK и BA и секущей AD. Значит \( \angle AKР = 50^\circ \).
6. В треугольнике APK: \( \angle APK = 180^\circ - (\angle PAK + \angle AKР) = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
7. Теперь найдем угол PMD. Угол PMD и угол KPM являются частью смежных углов APD и KPD. Так как \( \angle MPD = 30^\circ \) и \( \angle ADB = 60^\circ \), то угол PMD = \( \angle ADB - \angle MPD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ \).

Ответ: 30°.