3. В равнобедренной трапеции, угол при основании равен 45°, а основания равны 2см и 6 см. Найдите площадь трапеции.

Дано:

• Трапеция равнобедренная.
• \( a = 6 \text{ см} \) (большее основание)
• \( b = 2 \text{ см} \) (меньшее основание)
• \( \alpha = 45^{\circ} \) (угол при основании)

Решение:

1. Шаг 1: Находим проекцию боковой стороны на большее основание. Разность оснований равна \( a - b = 6 - 2 = 4 \) см. Так как трапеция равнобедренная, эта разность делится поровну на две части, которые являются проекциями боковых сторон на большее основание.
2. \( rac{a-b}{2} = rac{4}{2} = 2 \) см.
3. Шаг 2: Определяем высоту трапеции. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, проекцией боковой стороны и боковой стороной, угол при основании равен 45°. Следовательно, это равнобедренный прямоугольный треугольник, где высота равна проекции боковой стороны.
4. \( h = 2 \) см.
5. Шаг 3: Вычисляем площадь трапеции по формуле \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \).
6. \( S = \frac{6 \text{ см} + 2 \text{ см}}{2} \cdot 2 \text{ см} \)
7. \( S = \frac{8 \text{ см}}{2} \cdot 2 \text{ см} \)
8. \( S = 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} \)
9. \( S = 8 \text{ см}^2 \)

Ответ: 8 см²