3. В равнобедренном треугольнике KNM основанием KN является сторона KM. Внешний угол при вершине M равен 110°. Найди ∠N.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. У нас основание KN, значит, углы при вершинах K и N равны: \( \angle K = \angle N \).

Внешний угол при вершине M равен 110°. Внутренний угол M и внешний угол при той же вершине — смежные, их сумма равна 180°.
\( \angle M_{внутр} + \angle M_{внешн} = 180^{\circ} \)
\( \angle M + 110^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( \angle M = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°.
\( \angle K + \angle N + \angle M = 180^{\circ} \)
Так как \( \angle K = \angle N \), можем записать:
\( 2 \angle N + \angle M = 180^{\circ} \)
\( 2 \angle N + 70^{\circ} = 180^{\circ} \)
\( 2 \angle N = 180^{\circ} - 70^{\circ} \)
\( 2 \angle N = 110^{\circ} \)
\( \angle N = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ} \).

Ответ: \( \angle N = 55^{\circ} \).