3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН, причем CH = 8 см, ∠B = 45°. Найдите гипотенузу АВ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике АВС:

1. ∑C = 90° (по условию).
2. ∑B = 45° (по условию).
3. ∑BAC = 180° - 90° - 45° = 45° (сумма углов треугольника).
4. Так как ∑B = ∑BAC = 45°, то треугольник АВС равнобедренный с катетами AC = BC.
5. Высота СН проведена из вершины прямого угла. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВСН.
7. ∑CHB = 90° (по определению высоты).
8. ∑B = 45° (по условию).
9. ∑BCH = 180° - 90° - 45° = 45° (сумма углов треугольника).
10. Так как ∑B = ∑BCH = 45°, то треугольник ВСН равнобедренный с катетами CH = BH.
11. По условию CH = 8 см, значит BH = 8 см.
12. В прямоугольном треугольнике АВС, ∑C = 90°, ∑B = 45°.
13. В прямоугольном треугольнике ВСН, ∑CHB = 90°, ∑B = 45°.
14. Из ∑B = 45° и ∑CHB = 90°, следует, что ∑BCH = 45°.
15. Таким образом, ∇BCH — равнобедренный прямоугольный треугольник, где CH = BH = 8 см.
16. Теперь рассмотрим ∇ABC.
17. ∑C = 90°, ∑B = 45°, значит ∑A = 45°.
18. ∇ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник, где AC = BC.
19. В ∇ABC: BC = BH + HC = 8 см + 8 см = 16 см.
20. Так как ∇ABC — равнобедренный, то AC = BC = 16 см.
21. Найдем гипотенузу АВ по теореме Пифагора:
22. \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
23. \( AB^2 = 16^2 + 16^2 \)
24. \( AB^2 = 256 + 256 \)
25. \( AB^2 = 512 \)
26. \( AB = \sqrt{512} = \sqrt{256 \cdot 2} = 16\sqrt{2} \) см.

Ответ: AB = 16\(\sqrt{2}\) см.