3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, ∠A=30°, гипотенуза АВ=16 см, катет АС= 9 см. Найти катет ВС и периметр треугольника АВС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике АВС:

\( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \), \( AB = 16 \) см, \( AC = 9 \) см.

Найдем катет ВС, используя теорему Пифагора:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

\( 9^2 + BC^2 = 16^2 \)

\( 81 + BC^2 = 256 \)

\( BC^2 = 256 - 81 \)

\( BC^2 = 175 \)

\( BC = \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7} \) см.

Найдем периметр треугольника АВС:

\( P = AB + AC + BC \)

\( P = 16 + 9 + 5\sqrt{7} \)

\( P = 25 + 5\sqrt{7} \) см.

Ответ: катет \( BC = 5\sqrt{7} \) см, периметр \( P = 25 + 5\sqrt{7} \) см.